概率论的基本概念

随机实验

特点

  1. 可以在相同的条件下重复地进行
  2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
  3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

 

样本空间，随机事件

名称 特点
样本空间 随机试验E的所有可能结果组成的集合
样本点（基本事件） 样本空间的元素，即E的每个结果

样本空间的两种记法

$A_{1}=\{0,1,2,3\}$

$A_{2}=\{x|\mathrm0\leq x\leq3\}$

 

 

集合理论

示例图 公式 意义
1-1 $A\subset B$ A发生必导致B发生
1-2 $A \cup B=\left \{ x x \in A {或}x \in B \right \} $ A和B的和事件
1-3 $A \cap B=\left \{ x x \in A {且}x \in B \right \} $ A和B的积事件
1-4 $A-B=\{x x\in A \mathbb {且}x\notin B\}$ A和B的差事件
1-5 $A\cap B=\varnothing$ A和B是互斥的
1-6 $A\cup B=S{且} A\cap B=\varnothing$ A与B互为逆事件

进行事件运算时要用到以下定律

定律 公式 备注
交换律 $A\cup B=B\cup A;A\cap B=B\cap A$
结合律 $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C \\A\cap\left(B\cap C\right)=\left(A\cap B\right)\cap C$
分配律 $A\cap\left(B\cap C\right)=\left(A\cap B\right)\cap C \\ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ 注意括号里的符号
德摩根律 $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B} \\ \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$

 

 

频率与概率

频率

在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中

名称 特点
频数 事件A发生的次数
频率 比值$n_A/n$称为事件A发生的频率

 

基本性质

  1. $0\leqslant f_n(A)\leqslant1$
  2. $f_{n}\left(S\right)=1$
  3. 若$A_{1},A_{2},\cdots,A_{k}$是两两互不相容的事件，则$f_n(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_s)=f_s(A_1)+f_s(A_2)+\cdots+f_s(A_s).$

 

概率

基本性质

设E是随机试验，S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率

集合函数P满足一个重要的条件；

  • ==可列可加性==

设$A_{1},A_{2},\cdots$是两两互不相容的事件，即对于$A_{i}A_{j}=\varnothing$，$i\neq j,i,j=1,2,\cdots,$有$P(A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots\big)=P(A_{1})+P(A_{2})+\cdots.$

 

重要的性质

性质 公式
有限可加性 若$A_1,A_2,\cdots,A_n$是两两互不相容的事件，则$P(A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots\cup A_{n})=P(A_{1})+P(A_{2})+\cdots+P(A_{n})$
性质iii 设A，B是两个事件，若$A\subset B$，则有$\begin{array}{c}{P(B-A)=P(B)-P(A);}\\ {P(B)\geq P(A).}\\ \end{array}$
加法公式 对于任意两事件A，B有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A B)$