二阶方程

线性齐次方程

形如$x’‘+p(t)x’+q(t)x=f(t)$的形式，当f(t)等于零的时候，就是线性齐次方程，否则就是非齐次的方程。

对于一个普通的二阶线性齐次方程，$x’‘+x=0$ $z=x^{\prime}=\frac{d x}{d t}$
$$
x’‘=\frac{dx’}{dt}=\frac{dz}{dt}=\frac{dz}{dx}:\frac{dx}{dt}=z:\frac{dz}{dx}
$$

$$
z\frac{dz}{dx}+x=0
$$

$$
z:dz+x:dx=0
$$

有$\frac{z^{{2}}{2}+\frac{x}{2}}{2}=c$可以写作$:z^{2}+x{2}=k_{1}$,$x^{\prime}={\frac{d x}{d t}}=\pm{\sqrt{k_{1}-x^{2}}}$
$$
\frac{\pm:dx}{\sqrt{k_1-x^2}}=dt
$$
$$
s i n^{-1}\frac{x}{\sqrt{k_{1}}}=t+k_2,或者\frac{x}{\sqrt{k_{1}}}=\sin(t+k_{2})
$$

此时令$k_{2}=0\mathrm{,}{\sqrt{k_{1}}}=c_{1}$

正负的两种情况是$x=c_1\sin t$和$x=c_2\cos t$,因此，它的解是$x=c_1:sin t+c_2:cos t$

就是找到两个方程的特殊解，然后使得这个方程的其他的解都能够表示成两个特殊解的线性方程组合（通解）。

1.二阶齐形方程可能有无穷多个零点。

2.最大或者最小值的解不会在t=0的上下。例如:$x=(t-1)^2$

即不会出现$x’(t_0)=x’(t)=0$

线性无关和朗斯基行列式

对于两个方程$f(x)$和$g(x)$,证明其是线性无关的，只需要证明$c_1f(x)+c_2g(x)=0$当且仅当$c_1=c_2=0$时成立，即可证明。

例如：$f(t)=sint$,$g(t)=cost$

当t=0，$c_2$=0；当t=$\frac{\pi}{2}$,$c_1=0$,若$c_1,c_2$要满足对所有的t都成立，那么有$c_1=c_2=0$

 

朗斯基行列式

对下列行列式判断是否线性
$$
\left{\begin{array}{c}c_1\sin t+c_2\cos t=0\ c_1\cos t-c_2\sin t=0\end{array}\right.
$$
可以写作下面的朗斯基行列式。
$$
W(f,g)(t)=\begin{vmatrix}f(t)&g(t)\ f’(t)&g’(t)\end{vmatrix}=f(t)g’(t)-f’(t)g(t)
$$

那么对于任意的二阶齐形方程$x’‘+p(t)x’+q(t)x=0$,都有$W(t)=c e^{-\int p(t):dt}$

如果c=0，那么W(t)恒等于0，否则W(t)不等于0.

$W(t)=x_1x_2’-x_1’x_2$----->$W^{{\prime}(t)=x_{1}x_{2}}{\prime\prime}-x_{2}x_{1}^{{\prime\prime}$----->$x_{1}}{\prime\prime}=-p(t)x_{1}^{{\prime}-q(t)x_{1}$------->$x_{2}}{\prime\prime}={-}p(t)x_{2}^{{\prime}-q(t)x_{2}$----->$W}{\prime}(t)=[-p(t)x_{2}^{{\prime}-q(t)x_{2}]x_{1}-[-p(t)x_{1}}{\prime}-q(t)x_{1}]x_{2}=-p(t)[x_{1}x_{2}^{{\prime}-x_{1}}{\prime}x_{2}]=-p(t)W(t)$

如此便转化成一个可分方程：$W(t)=\stackrel{.}{c}e^{-\int p(t):d t}$

 

如果朗斯基行列式等于0，说明两个解是线性相关的

如果W(t)不等于0，说明两个解是线性无关的，且两个解叫做方程的两个基本解（fundamental solution）。

 

如果给了方程的$x=c_1x_1+c_2x_2$，证明$x_1和x_2$是方程的基本解。

 

已知一个解求另一个解

在一个二阶方程中，我们已知一个一般解$x_1(t)$,-此时如果$x_1(t) \ne 0$，我们可以通过如下的式子求出另一个一般解$x_2(t)$
$$
x_2(t)=x_1(t)\int\frac{e^{-\int p(t)dt}}{x_1^2(t)}dt
$$
 

线性非齐次方程

有如下形式
$$
x’‘+p(t)x’+q(t)x=f(t).
$$
带入$x_1$和$x_2$后将两式相减，可以得到如下方程
$$
(x_1’‘-x_2’‘)+p(t)(x_1’-x_2’)+a(t)(x_1-x_2)=0.
$$
有二阶线性非齐次方程的一个特解$x_p$

带入可知$x_P’‘+p(t)x_p’+q(t)x_p=f(t).$

可知，此二阶线性齐次方程的通解为$x=c_1x_1+c_2x_2+x_p$

 

解题思路

对于如下的二阶非齐次方程
$$
x’‘+p(t)x’+q(t)x=f(t)
$$
解题步骤如下

1.先令$$f(t)\equiv0$$，求出$x"+ p（t）x’+ g（t）x = f（t）$的特解$x_1$与$x_2$

2.非齐次方程的通解可以表示为：$x=c_1x_1+c_2x_2+x_p,$其中$$ x_p=v_1(t)x_1+v_2(t)x_2$$

3.求解$v_1(t),v_2(t)$

​ （1）列方程组
$$
\begin{cases}v’_1x_1+v’_2x_2=0\{}\v’_1x’_1+v’_2x’_2=f(t)\end{cases}
$$
​ （2）克莱姆法则求解

$$ v1'=\dfrac{\begin{vmatrix}0&x_2\\ f(t)&x_1'\end{vmatrix}}{W(t)}=-\dfrac{x_2f(t)}{W(t)}v2'=\dfrac{\begin{vmatrix}x_1&0\\ x_1'&f(t)\end{vmatrix}}{W(t)}=-\dfrac{x_1f(t)}{W(t)} $$ ​ （3）对$v_1'(t)和v(2)'(t)$求解 $$ v_1=\int v_1'dt,v_2=\int v_2'dt $$ ​ （4）最终可得齐次方程通解:$x=c_1x_1+c_2x_2+x_p$

 

具有常系数的线性齐次方程组

方程有如下形式
$$
ax’‘+bx’+cx=0
$$
当我们设$x(t)=e^{mt}$带入方程可得
$$
am^2e{mt}+bme^{mt}+ce{mt}=0
$$
化简可得(特征方程)
$$
am^2+bm+c=0
$$
此时可以求出方程的两个解
$$
m=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
一般情况下有三种情况：

​ case1: $b^2-4ac>\textbf{0}$

此时方程有两个不同解
$$
m_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2-4ac}}{2a},m_2=\dfrac{-b-\sqrt{b}2-4ac}}{2a}
$$
此时有方程的解$x=c_1e^{m_1t}+c_2e{m_2t}$

 

​ case2: $b^2-4ac={0}$

（1）求出唯一解

此时m有唯一解$m=-\frac{b}{2a}$,代入可得方程的解为$x_1=e^{-\frac{b}{2a}t}$.

（2）已知一解，求另一解
$$
x_2=e^{{-\frac{b}{2a}t}\int\frac{e}{-\frac{b}{a}t}}{(e^{{-\frac{b}{2a}t})}2}dt=e^{{-\frac{b}{2a}t}\int\frac{e}{-\frac{b}{a}t}}{e^{{-\frac{b}{a}t}}dt=e}{-\frac{b}{2a}t}\int dt=te^{-\frac{b}{2a}t}
$$
（3）得出方程的解
$$
x=c_{1}e^{-\frac{b}{2a}t}+c_{2}t e^{-\frac{b}{2a}t}
$$
case3：$\quad b^2-4ac<0\quad\text{}$没有实数解

（1）求出特征方程的解
$$
m=\frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}{i}}{2a}=u\pm\lambda\text{i}
$$
有$e^{\mu+\lambda i}=e^{\mu}e{\lambda i}=e^{\mu}(\mathrm{cos}\lambda+i\mathrm{sin}\lambda)$

可知两个解分别为$x_1 = u(t),x_2=i(t)$

(2)此方程的通解为
$$
c_1x_1+c_2x_2
\
C_1\mathrm{e}^{ut}\cos\lambda t+C_2\mathrm{e}^{ut}\sin\lambda t
$$

$$
x=c_1e^{\mu t}\cos{\lambda t}+c_2e^{\mu t}\sin{\lambda t}=e^{\mu t}(c_1\cos{\lambda t}+c_2\sin{\lambda t})
$$

 

欧拉方程（Euler equation）

欧拉方程形式如下

$$
at^2x’‘+btx’+cx=0,\quad t>0
$$
求解方法：

1.令$t=e^s,s=lnt$

2.则有

​ （1）$\frac{ds}{dt}=\frac{1}{t}=\frac{1}{e^s}$

​ （2）${\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}={\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}}\cdot{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}={\frac{1}{t}}\cdot{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}}$

​ $\frac{\mathrm{d}^{2x}{\mathrm{d}t}2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{t}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}\right)\\hspace{5cm}=-\frac{1}{t^{{2}}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}+\frac{1}{t}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\\hspace{3cm}=-\frac{1}{t}2}\cdot\frac{\text{d}x}{\text{d}s}+\frac{1}{t^{2}\cdot\frac{\text{d}}2x}{\text{d}s^2}$

可得：$\left{\begin{array}{c}
tx’ = t \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} s} \
t^{2}x’'=t{2} \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}=-\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} s}+\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} s^{2}}
\end{array}\right.$

​ （3）将上式带入原方程，此时原方程（1）可变为$a\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm d s^2}+(b-a)\frac{\mathrm dx}{\mathrm d s}+cx=0$

即此特征方程为$am^2+(b-a)m+c=0$

可知其通解为：$x=c_1x_1(s)+c_2x_2(s)$

​ （4）根据常系数的二阶微分方程的求解方法$e^{mt}(am2+(b-a)m+c)=0$

​ （5）分三种情讨论$\begin{cases}\Delta>0\ \ \Delta=0\ \ \Delta<0\end{cases}$

​ （6）最终用$s = lnt替换掉结果中的s得到x(t)$