常微分

1.1 简介

一阶线性方程

性质

微分方程 —> 包含未知函数和未知函数的导数

微分方程的解 —-> 是在某个区间成立（区间范围也可以是无穷）

例如：一个常微分方程

$$x'(t)-x(t)=0$$

此微分方程的解是$x（t）=e^{t}$,其解的区间是$(-\infty ,\infty )$

描述的就是未知函数和导数的关系（注意他们的解的区间)

常微分和偏微分

常微分（ODE）：一维的（包含一个未知量）

偏微分(PDE)：多维的（包含多个未知量）

常微分的次数

常微分最高阶的导数就是它的阶数

例如

$ x’(t) - x(t) = 0 $ 最高阶导数为一阶导，其阶数为一阶

$x’’(t) - x(t) = 0$ 最高阶导数为二阶导， 其阶数为二阶

一个特殊写法

通常情况下微分方程$x’(t)-x(t)=0$

可以把x(t)简化得写成x

化简后得写法是$x’-x=0$

 

 

1.2 简单的例子

最重要的一个概念

一个关于x(t)的微分方程

$$x'(t)=kx(t),k\in R$$

此时，方程的通解为

$$x(t) = ce^{kt}$$

要求：给定一个微分方程的解，我们可以写出对应的微分方程

给出一个微分方程，我们可以求出它的解

 

例如

一个微分方程的解是$x(t)=2e^{kt}$其微分方程为$x’(t)=2x(t)$

 

 

 

1.3 应用的一些例子

$x’(t)=kx(t),k \in R$经常运用在我们生活中的一些模型中,比如人口动态模型（Population dynamics），和RC电路模型（An RC electric circuit）

 

 

1.4一般的情况

我们来分析一般的一阶线性方程

$$x'(t)+p(t)x(t)=q(t),t\in I$$

此时p(t),q(t)都是在区间I上连续的。

-如果q(t)=0,那么就称之为齐次的，否则方程就是非齐次的。

 

 

积分因子

在我们解微分方程的重要一步就是找方程的积分因子（Integrating Factor）

假设一个微分方程u（t）满足$u（t）>0$

存在$u(t)x’(t)+u(t)p(t)x(t)=(u(t)x(t))’$

这样，函数$u(t)$就被称为方程的积分因子

有$x’(t)+p(t)x(t)=q(t)$

将上面的两式化简可得，当$x(t) \ne 0$时

$$u(t)p(t)=u'(t)$$

继续化简可得

$$u(t)=e^{P(t)}$$ $$P(t)=\int {p(t)dt}$$

因此，对于方程$(u(t)x(t))’=u(t)q(t)$,方程两边同时进行积分可得

$$u(t)x(t)=C +\int u(t) q(t)dt$$

带入$u(t)=e^{P(t)}$可得

$$x(t)=e^{-P(t)}(c+ \int e^{P(t)q(t)dt}), P(t)=\int p(t)dt$$

 

 

总结

对于下列求初值方程

$$x'(t)+p(t)x(t)=q(t),x(t_0)=x_0$$ $$x(t)=e^{\int_{t_0}^{t}p(s)ds}(x_0+ \int_{t_0}^{t}e^{\int_{t_0}^{t}p(\tau )d\tau }q(s)ds)$$

-当q(t)=0时有

$$x'(t)+p(t)x(t)=0,x(t_0)=x_0$$ $$x(t)=x_0e^{\int_{t_0}^{t}p(s)ds}$$

 

 

 

一阶非线性微分方程

可分方程(Separable Equation)

形式

$$x'(t) = h(t)g(x)$$

要求：h(t)连续，g(x)连续可微

 

g(t)的一个零点时函数的常数解

g(k)=0

x(t)=k

 

所有不变的解都用直线x=k分隔

函数的常数解和非常数解不相交

 

非常数解

$$\frac{x'(t)}{g(x(t))}=h(t)，g(x)=0$$ $$\int \frac{x'(t)}{g(x(t))}dt = \int h(t)dt$$ $$\int \frac{dx}{g(x)}= \int h(t)+c$$

 

总结

对于解一般的可分方程的思路，一般情况下，左边是x的微分形式，方程右边是关于x和关于t的方程

1.令关于x的方程g(x)等于0，其零点就是关于方程的常数解

2.将g(x)提取到方程左边，x’dt=1dx

3.方程两边同时积分，得出化简后的式子

4.如果有初值，带入即可求出方程中未知量

5.化简即可求出方程的解

关于一些会用到的积分技巧

$\int \frac{1}{x^2 +1}dx=t+c$ ——> $arctanx=t+c$—-> $x=tan(t+c)$

$\int \frac{1}{(x+1)(x-1)}dx=t+c$—->$\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}dx=t+c$——>$\frac{1}{2}ln|\frac{x-1}{x+1}|=t+c$ (绝对值不要忘记加)

逻辑方程

$$x'(t)=x(t)(\alpha - \beta x(t)),\alpha,\beta>0$$

此时，$x = 0$和$x(t)=\frac{\alpha}{\beta}$是方程的两个常数解

如果再假设$x(t)>0$

根据唯一性，可以将不定方程分为两类

$$0<x(t)<\frac{\alpha}{\beta}$$

和

其本质上是方程$x’=x(\alpha -\beta x)$的两个解，此时我们有

$$\frac{dx}{x(\alpha - \beta x)}=dt$$ $$\int \frac{1}{\alpha}·\frac{1}{x}dx+\int \frac{\beta}{\alpha}\frac{1}{\alpha - \beta x}dx =t+c$$ $$\frac{1}{\alpha}ln|x|-\frac{1}{\alpha}ln|\alpha -\beta x|= t+c$$ $$\frac{|x|}{|\alpha - \beta x|}=e^{\alpha t+\alpha c}=ke^{\alpha t}$$

这里$k=e^{\alpha c}$,可以获得两个区间

$$0<x(t)<\frac{\alpha}{\beta}$$

和

$$x(t)>\frac{\alpha}{\beta}$$

当$x<x(t)<\frac{\alpha}{\beta}$时

$$\frac{x}{\alpha - \beta x}=ke^{\alpha t}$$

解得

$$x(t)=\frac{\alpha k e^{\alpha t}}{1+\beta k e^{\alpha t}}$$

当$x(t)>\frac{\alpha}{\beta}$时

$$-\frac{x}{\alpha - \beta x}=ke^{\alpha t}$$

解得

$$x(t)=\frac{-\alpha k e^{\alpha t}}{1-\beta ke^{\alpha t}}$$

在此情况下，$\lim_{x \to \infty}x(t)=\frac{\alpha }{\beta}$