1.电荷和电场

1.1 静电，电荷及其保护

电荷守恒定律

在任何过程中，产生的电荷量的净变化为零。

例如，当用一条毛巾摩擦一个塑料尺子时，该塑料获得一个负电荷，而该毛巾获得一个等量的正电荷。电荷是分开的，但两者的和是零。

1.4感应电荷和验电器

在带电棒没有接触验电器时，此时无论电荷还是验电器中的电荷不变，体现同性相斥，异性相吸。

在带电棒接触验电器后，正负电荷进行中和。

1.5库仑定律

$$
F=k\frac{Q_1Q_2}{R^2}
$$

常数$k\approx 9.0 \times 10^9N·m2/C^2$

元电荷$e=1602 \times 10^{-19}C$

介电常数（permittivity）

在等式中的常数k通常用另一个常数(介电常数)$\epsilon_0 $来写
$$
F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 }\frac{Q_1Q_2}{r^2}
$$

$$
\epsilon_0 =\frac{1}{4 \pi k}=8.85 \times 10^{-12}C2/N·m^2
$$

常见题型

在一条直线有三个电荷，对其中的某一个电荷进行受力分析

1.6 电场

假设在电场中有一试验电荷P

那么此电荷所在的电场强度E由下式计算。
$$
E=\frac{F}{q} =\frac{kqQ/r^2}{q}
$$

$$
E= k\frac{Q}{r^2}
$$

$$
E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}
$$

1.7连续电荷分布的电场强度计算

在很多情况下，我们可以处理连续分布的电荷，可以把分布的电荷分隔成无限小的电荷元dQ，它们每个都相当于一个微小电荷。每个dQ在相距为r的地方对电场强度的贡献为
$$
dE=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{dQ}{r^2}
$$
电场强度E为所有这些无限小电荷的贡献累加，即为积分
$$
E = \int dE
$$

经典题型

电荷环，均匀带电的圆盘,两块平行板

无限大平面

如果圆盘的半径远远大于P点到盘的距离（例如，$z \ll R$）那么我们可以得到一个结果
$$
E = \frac{\sigma }{2 \epsilon_0},
$$

1.8电场线

电场线的方向
大小问题–电场线的疏密
电场的起始问题

（起于正电荷（或者无穷远）
电场线不交叉，不相接

1.9电场及导体

如图，一个在中性金属球壳内的电荷在金属球壳表面感应出电荷。电场在球壳外也存在，但是在导体内不存在。

1.10带电粒子在电场中的运动

经典题型

被加速的电子，如右图所示

2.11电偶极子（Electric Dipole Potentical）

牢记力矩的定义与公式

力矩是以施力大小与力臂的乘积衡量物体的转动效果
$$
M=F \times L
$$

在外电场中的电偶极子

电场是均匀的，在正电荷上的力QE和负电荷上的力-QE将使得作用在电偶极子的合力为零名单上却又一个力矩作用其上。
$$
\tau =QE \frac{l}{2}sin \theta + QE \frac{l}{2}sin\theta=pEsin\theta
$$
上式可用矢量表示为
$$
\tau = p \times E \times sin\theta
$$

当$\theta=90$时力矩值最大，$\theta=180$势能最大此时E和p时反向平行的

稳态和亚稳态

共同点

1，长期稳定存在

2，合力为零

差别

稳态：给一个非常小的干扰，能保持稳态

亚稳态：给一个非常小的干扰，不能保持稳态

总结：

关于电场中的问题分析，一共有四点

1.作图和确定方向（draw a careful diagram）

对于受力物体的力和方向的进行作图分析，确定电子在电场中的方向。

2.应用库伦定理(apply coulomb’s law)

用库伦定理求出每个电荷所产生的力的大小施加在一个带电物体上。

3.添加向量(add vectorially and use symmetry)

在几何图形中尽可能用向量表示

4.检查(check the reasonableness)

高斯定理

电场强度通量（电通量）electric flux

概念：

通过一个给定的区域的电场强度，对于均匀电场，穿过一个平面A的电场强度通量$\Phi _E$定义为
$$
\Phi _E =EAcos \theta
$$

面积A，可以有一个矢量A来表示，，矢量大小为A，方向垂直于该平面。$\theta$为E和A之间的夹角，电场强度通量也可以写成
$$
\Phi _E = E·A
$$

在更为普遍的情况下，如下图

当电场不均匀，曲面不平坦时，可以把该曲面分割为n个曲面微元，使其满足：

1.可以看作平面

2.电场强度在这个微元区域中变化很小

因此可以默认电场强度时均匀的，整个曲面的电场强度可以近似为
$$
\phi E \approx \sum{i = 1}^{n}E_i ·\bigtriangleup A_i
$$
对这个曲面进行积分，可以表示为：
$$
\phi E= \int E ·dA
$$
对闭合曲面的电场强度通量可写为：
$$
\Phi{E}=\oint\vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec{\mathbf{A}}
$$

高斯定理

高斯定理是描述一个封闭平面的电通量与该表面内封闭的静电荷之间的关系。

$$
\Phi_{E}=\oint \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{A}}=\oint E d A=E \oint d A=E\left(4 \pi r^{2}\right)
$$
$$
E=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}}
$$

表示为
$$
\oint \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{A}}=\frac{Q_{\mathrm{encl}}}{\epsilon_{0}}
$$

注意

1.$Q_{encl}$是指包含在闭合平面表面的净电荷Q，该表面以外的电荷不包含在平面内。

2.电荷$Q_{encl}$在表面内的位置或如何分布并不重要。

3.左边的积分超过了任何封闭曲面上的E值，为了方便，我们选择这个曲面

如上图的闭合曲面，进入闭合曲面的电场线同时也离开闭合曲面。因此$\Phi _E=\oint Ecos\theta dA=0$

除非曲面内包含净电荷，$\oint Ecos\theta dA$才不为零。

电偶极子通过曲面$A_1$的电场强度通量为正，通过曲面$A_2$的电场强度通量为负。

电荷$Q_{encl}$是闭合曲面内的净电荷，其分布并不重要。

高斯定理的应用

关于高斯定理的应用一共有九种题型，一共可以分为：绝缘体（四种），导体（两种），薄球壳，无限长的电荷面，长而均匀的导体线。

绝缘体：球体和厚球壳的均匀和不均匀分布

导体：球体和厚球壳

当在做此类题型的时候，重点要注意运用高斯定理，求出来在所选定r表面内的电荷$Q_{encl}$，从而求出此点的电场强度值。

电荷分布在球的表面

分别有导体实心球，导体厚球壳，导体和绝缘体的薄球壳

求$r_0<r$和 $r_0>0$时候的电场值

solution：

according to the Guss’s law,we can get $\oint \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{A}}=\frac{Q_{\mathrm{encl}}}{\epsilon_{0}}$

when $r<r_0$

Inside the shell, the electric field must be symmetric. So E have the same value at all points on a spherical gaussian surface , Thus the charge enclosed within the sphere is zero,
$$
\oint \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{A}}=E\left(4 \pi r^{2}\right)=0
$$
hence E = 0.

when $r>r_0$
$$
\oint \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{A}}=E\left(4 \pi r^{2}\right)=\frac{Q}{\epsilon_{0}}
$$

$$
E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}}
$$

绝缘球体

特点就是电荷平均分布在球的内部。

当$r>r_0$
$$
\oint \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{A}}=E\left(4 \pi r^{2}\right)=\frac{Q}{\epsilon_{0}}
$$

$$
E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}}
$$

当$r<r_0$
$$
\oint \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{A}}=E\left(4 \pi r^{2}\right)
$$
此时计算r内部的电荷$Q_{encl}$
$$
Q_{\mathrm{encl}}=\left(\frac{\frac{4}{3} \pi r^{3} \rho_{\mathrm{E}}}{\frac{4}{3} \pi r_{0}^{3} \rho_{\mathrm{E}}}\right) Q=\frac{r^{3}}{r_{0}{3}} Q
$$

$$
E\left(4 \pi r^{2}\right)=\frac{Q_{\text {encl }}}{\epsilon_{0}}=\frac{r^{3}}{r_{0}{3}} \frac{Q}{\epsilon_{0}}
$$

$$
E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r_{0}^{3}} r
$$

不均匀绝缘体

如果上图（题）的球体是不均匀的，其密度$\rho_{\mathrm{E}}=\alpha r^{2}$

求$\alpha$,求r和电场的关系

solution：
$$
Q=\int \rho_{\mathrm{E}} d V=\int_{0}^{r_{0}}\left(\alpha r^{2}\right)\left(4 \pi r^{2} d r\right)=4 \pi \alpha \int_{0}^{r_{0}} r^{4} d r=\frac{4 \pi \alpha}{5} r_{0}^{5}
$$

$$
\alpha=5 Q / 4 \pi r_{0}^{5}
$$

<2>

当$r>r_0$时$Q_{encl}$同上题一样且不变化

$$
\oint \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{A}}=E\left(4 \pi r^{2}\right)=\frac{Q}{\epsilon_{0}}
$$

$$
E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}}
$$

当$r<r_0$时
$$
\oint \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{A}}=\frac{Q_{\mathrm{encl}}}{\epsilon_{0}}
$$

$$
(E)\left(4 \pi r^{2}\right)=Q \frac{r^{5}}{\epsilon_{0} r_{0}^{5}}
$$

$$
E=\frac{Q r^{3}}{4 \pi \epsilon_{0} r_{0}^{5}}
$$

长且均匀的导线

假设导线单位长度有正电荷$\lambda$

$$ \oint \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{A}}=E(2 \pi R \ell)=\frac{Q_{\text {encl }}}{\epsilon_{0}}=\frac{\lambda \ell}{\epsilon_{0}} $$ for $\ell \ll \text { length of wire }$,$2\pi R$是它的周长 $$ E=\frac{1}{2 \pi \epsilon_{0}} \frac{\lambda}{R} $$

无限长的电荷面、

单位面积电荷=$\sigma $=dQ/dA

根据高斯定理
$$
\oint \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{A}}=2EA=\frac{Q_{enxl}}{\epsilon_{0}}=\frac{\sigma A}{\epsilon_{0}}
$$
where$Q_{encl}= \sigma $
$$
E=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}
$$

电势

电势能和电势差

$$
W=F d=q E d
$$

$$
U_{b}-U_{a}=-W=-q E d
$$

a和b两点之间的势能变化，等于物体从a移动时，保守力所做的功的负值

电势

$$
\varphi={\frac{E_{p A}}{q}}
$$

电势能

$$
U={\frac{W_{A B}}{q}}
$$

电位和电位差

在a点的的电势（假设有一个点电荷）
$$
V_{a}=\frac{U_{a}}{q}.
$$

$$
V_{b a}=\Delta V=V_{b}-V_{a}=\frac{q_{b}-U_{a}}{q-q}=-\frac{W_{b a}}{q}.
$$

因为电位差被足义为单位电荷的势能差，所以电荷q在a和b两点之间移动时势能的变化量为，
$$
\Delta U=U_{b}-U_{a}=q\left(V_{b}-V_{a}\right)=q V_{b a}.
$$
也就是说，如果一个带电荷q的物体通过一个电位差$V_{ba}$，它的势能变化量$qV_{ba}$。

电势与电场之间的关系

U是势能能，V是电势

有$V=\frac{U}{q}$

电势能的变化等于电力所做的功的负数，

$$ U_{b}-U_{a}=-\int_{a}^{ b}\overrightarrow{F}·d\overrightarrow{l} $$

由点电荷引起的电位

$$ E=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}},E =k\frac{Q}{r^{2}} $$

$$
V_{b}-V_{a}=-\int_{r_{a}}^{r_{b}}\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{Q}{4\pi \epsilon {0}}\int{r_{a}}^{{r_{b}}\frac{1}{r}2}dr=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\frac{Q}{r_{b}}-\frac{Q}{r_{a}}\right).
$$

let$V_b =0$ at $r_b=\infty $

$$
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{r}
$$

一般情况下的电荷分布

$$
V_{a}=\sum_{i=1}^{{n}V_{i}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\sum_{i=1}}{n}\frac{Q_{i}}{r_{ia}}
$$

$$
V=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\dfrac{d q}{r}
$$

任意电荷分布下的电势

电荷分布在圆环

$$ V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int\frac{d q}{r}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{\left(x^{2}+R^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\int d q=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{\left(x^{2}+R^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} $$

电荷平均分布在圆盘

关键在于求出积分点的电荷值q，当然这个是以一圈为定值对其进行积分。
$$
\frac{d q}{Q}=\frac{2\pi R d R}{\pi R_{0}^{2}}
$$

$$
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int\frac{d q}{\left(x^{2}+R{2}\right){2}^{{1}}=\frac{2Q}{4\pi\epsilon_{0}R_{0}}{2}}\int{0}^{R_{0}}\frac{R d R}{\left(x^{2}+R{2}\right)^{{\frac{1}{2}}}=\left.\frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}R_{0}}{2}}\left(x^{2}+R{2}\right)^{{\frac{1}{2}}\right|_{R=0}}{R=R_{0}}=\frac{Q}{2\pi\epsilon_{0}R_{0}^{{2}}\left[\left(x}{2}+R_{0}^{2}\right){\frac{1}{2}}-x\right]
$$

电偶极子的电位

$$ V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{r}+\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\left(-Q\right)}{\left(r+\Delta r\right)}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}Q\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r+\Delta r}\right)^{4}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\Delta r}{r\left(r+\Delta r\right)} $$ $r>>\Delta r=l\cos\theta$ $$ V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q l\cos\theta}{r^{2}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{p\cos\theta}{r^{2}} $$ 此时的电偶极子为p。$p=Ql$

用V来确定$\overrightarrow{\text{E}}$

我们都知道v是标量，但E是个矢量。其间的关系有
$$
V_{b}-V_{a}=-\int_{a}^{b}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l},
$$

$$
E_{l}=-\frac{d V_{l}}{d l}.
$$

此时的l可以是多个方向的。

静电势能(Electrostatic Potential Energy)

假设一个点电荷q在空间中的两点a和b之间移动，其中由其他电荷引起的电势分别为$V_1$和$V_2$。q在这些其他电荷场中的静电势能的变化为
$$
\Delta U=U_{\mathrm{b}}-U_{\mathrm{a}}=q(V_{\mathrm{b}}-V_{\mathrm{a}})
$$
当电荷相距很远（理想情况下是无限远）时，选择电势能为零是最方便的。

单点电荷$Q_1$没有势能，因为如果周围没有其他电荷，就不会施加在它身上。如果第二点电荷$Q_2$接近势由于这个第一电荷的位置$Q_1$,此时$Q_1$在$Q_2$位置产生的电势为
$$
V=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q_1}{r_{12}}
$$
如果系统由三个电荷组成，总势能将是将这三个电荷结合在一起的电势能

其三个电荷的经典势能就是
$$
U={\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}}\left({\frac{Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac{Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac{Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right)
$$

电容，电解质，电储能

电容（capacitors ）

电容器是一种可以储存电荷的装置

$$
Q=C V
$$
对于给定的电容，我们发现每片获得的电荷量Q与它们之间的电位差V的大小成正比

上述关系中，比例常数C称为电容器的电容，电容的单位是库每伏，称为法拉（F）

计算电容

平行板中的电容器

$$
E=\frac{Q}{\epsilon_{0}A}
$$

$$
V=V_{b a}=V_{b}-V_{a}=-\int_{a}^{b}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}.
$$

$$
V=V_{b}-V_{a}=-\int_{a}^{b}E d l\cos180^{{\circ}=+\int_{a}}{b}E d l=\frac{Q}{\epsilon_{0}A}\int_{a}^{b}d l=\frac{Q d}{\epsilon_{0}A}
$$

$$
C=\frac{Q}{V}=\epsilon_{0}\frac{A}{d}
$$

题型

一共有三种，分别为圆柱形电容器，球形电容器，球形导体之间的电容问题。

圆柱形电容器

$$ V=V_{\mathrm{b}}-V_{\mathrm{a}}=-\int_{a}^{\mathrm{b}}\vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec{\ell}=-\dfrac{Q}{2\pi\epsilon_0\ell}\int_{R_\mathrm{a}}^{R_\mathrm{b}}\dfrac{dR}{R}=-\dfrac{Q}{2\pi\epsilon_0\ell}\ln\dfrac{R_\mathbb{b}}{R_\mathbb{a}}=\dfrac{Q}{2\pi\epsilon_0\ell}\ln\dfrac{R_\mathbb{a}}{R_\mathbb{b}}. $$

$$
C=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{2\pi\epsilon_0\ell}{\ln(R_\mathrm a/R_\mathrm b)}
$$

球形电容器

$$ \begin{array}{rcl}V_{\text{ba}}=-\int_{a}^b\vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec{\mathbf{l}}=-\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\int_{r_a}^{r_0}\dfrac{1}{r^2}dr\\=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_b}-\dfrac{1}{r_a}\right)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{r_a-r_b}{r_ar_b}\right)\end{array} $$

$$
C=\dfrac{Q}{V_{\text{ba}}}=4\pi\epsilon_0\biggl(\dfrac{r_\text{a}r_\text{b}}{r_\text{a}-r_\text{b}}\biggr)
$$

电容的串并联

并联：等于电容值的加和

电能储存

移动并联电容板。平行平板电容器的极板面积为a，间距为x，并与电压为v的电池连接。当与电池连接时，极板被拉开，直到它们间隔3x。
（a）储存在电容器中的初始和最终能量是多少？

（b）将两板分开需要做多少功（假设速度恒定）？
（c）与电池交换多少能量？
$$
U_1=\frac{1}{2}C_1V^{2=\frac{1}{2}\frac{\epsilon_0A}{x}V}2
$$

$$
U_{2}=\frac{1}{2}\frac{\epsilon_{0}A}{3x}V^{2}
$$

$$
\Delta U_{c a p}=U_{2}-U_{1}=-\frac{\epsilon_{0}A V^{2}}{3x}
$$

（b）
$$
W=\int_{\ell=x}^{\ell-3x}Q E d\ell=\frac{\epsilon_{0}A V^{{2}}{2}\int_{x}}{3x}d\ell=-\frac{\epsilon_{0}A V^{{2}}{2\ell}\Bigg|_{\ell=x}}{\ell+3x}=\frac{\epsilon_{0}A V^{2}}{2}\left(\frac{-1}{3x}+\frac{1}{x}\right)=\frac{\epsilon_{0}A V^{2}}{3x}
$$
（c）
$$
W=\Delta U_{\text{cap}}+\Delta U_{\text{batt}}
$$

$$
\Delta U_{b a t t}=W-\Delta U_{c a p}=\frac{\epsilon_{0}A V^{2}}{3x}+\frac{\epsilon_{0}A V^{2}}{V_{0}3x}=\frac{2\epsilon_{0}A V^{2}}{3x}
$$

$$
U=\frac{1}{2}C V^{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\epsilon {0}A}{d}\right)\left(E^{2}d{2}\right)=\frac{1}{2}\epsilon{0}E^{2}A d
$$

电解质

如果电介质填满了两个导体之间的空间，它会使电容增加一个因数K，这个因数被称为介电常数。因此
$$
C=KC_{0}
$$

$$
C=K\epsilon_{0}\frac{A}{d}
$$

当电介质被插入时，电场也会改变。当无介质存在时，平行板电容器板间的电场为
$$
E_{0}=\frac{V_{0}}{d}
$$

$$
E=E_{D}=\frac{V}{d}=\frac{V_{0}}{K d}
$$

$$
E_{D}=\frac{E_{0}}{K}
$$

电流和电阻

电流：$I=\frac{d Q}{d t}$

欧姆定律（ohm‘s Law）

$$
I=\frac{V}{R}
$$

电阻率

$$
R=\rho\frac{l}{A}
$$

电阻率的倒数称为电导（conductivity）
$$
\sigma=\frac{1}{\rho}
$$

电阻率的温度依赖性

$$
\rho_{T}=\rho_{0}\left[1+\alpha\left(T-T_{0}\right)\right]
$$

功率

$$
P=\frac{d U}{d t}\Rightarrow\frac{d q}{d t}V
$$

交流电

方均根值被称为有效值rms$I_{r m s}=\sqrt{\overline{I^{2}}}=\frac{I_{0}}{\sqrt{2}}$

电流密度和漂移速度(Current Density and Drift Velocity)

电流密度：j
$$
I=\int\overrightarrow{\mathbf j}\cdot d\overrightarrow{A}
$$
飘逸速度：
$$
\overrightarrow{j}=-ne\overrightarrow{v}{d} \\vec{\textbf{j}}=\sum\limits_i n_i q_i\vec{\textbf{v}}{\text{d}i}
$$