微积分三

向量与向量值函数

点积（Dot Products）

已知两个二维或者三维的非零向量u和v，它们的点积是

$$u·v=|u| \times |v|cos \theta$$

其中，$\theta$是u与v之间的夹角，且$0 \le \theta \le \pi$。

 

正交向量（Orthogonal Vectors）

当两个向量u和v称为是正交，有u·v=0。这两个正交的非零向量相互垂直。

 

点积（Dot Products）

已知两个向量$u=$和$v=$,

$$u·v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$$

 

正交投影（Orthogonal Projection of u into v）

u在v上的（正交投影）

设$v \ne 0$,则u在v上的正交投影是

$$proj_vu=|u|cos \theta(\frac{v}{|v|})$$

正交投影也可以用如下的公式计算

$$proj_vu=scal_vu(\frac{v}{|v|})=(\frac{u·v}{v·v})v$$

其中u在v方向的纯分量是

$$scal_vu=|u|cos \theta = \frac{u · v}{|v|}$$

ps：proj相较于scal的区别是其方向是否跟投影的向量一致。

 

 

证明

$u=$

$$(u_1+u_2+u_3)^2 \le 3(u_1^2+u_2^2+u_3^2)$$

过程如下

$v=$有 $u·v=u_1u_2+u_2u_3+u_3u_1$和$|u||v|=u_1^2+u_2^2+u_3^2$，

因此有$u_1u_2+u_2u_3+u_3u_1 \le |u|^2$

有$(u_1+u_2+u_3)^2=u_1^2+u_2^2+u_3^2+2(u_1u_2+u_2u_3+u_3u_1) \le u_1^2+u_2^2+u_3^2+2|u|^2 = 3|u|^2$

叉积（Cross Product）

u和v叉乘$u \times v$是一个大小为

$$|u \times v| = |u||v|sin \theta$$

的向量，其中其方向根据右手定则判断

 

计算叉积

$u=u_1i+u_2j+u_3k$，$v=v_1i+v_2j+v_3k$,则

$$u \times v =\begin{vmatrix} i&j & k\\ u_1&u_2 &u_3 \\ v_1&v_2 &v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 &u_3 \\ v_2&v_3 \end{vmatrix}i- \begin{vmatrix} u_1 &u_3 \\ v_1& v_3 \end{vmatrix}j+ \begin{vmatrix} u_1&u_2 \\ v_1&v_2 \end{vmatrix}k$$

注意：线性代数运算中，偶数项系数为负

 

 

空间直线与曲线

直线方程（Equation of a Line）

过点$p_0(x_0,y_0,z_0)$且以向量$v=$为方向的直线方程是$r = r_0+tv$,或

$$<x,y,z>=<x_0,y_0,z_0>+t<a,b,c>,-\infty <t<\infty$$

 

空间曲线

$$r(t)=<f(t),g(t),h(t)>=f(t) i +g(t)j+h(t)k$$

导数与切向量（Derivative and Tangent Vector）

设$r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k$其中f，g，h是（a，b）上的可导函数，则r在（a，b）上有导数，且

$$r'(t)=f'(t)i+g'(t)j+h'(t)k$$

当$r’(t) \ne 0$时，$r’(t)$是在对应$r(t)$处的切向量（速度向量）。

 

 

单位切向量（Unit Tangent Vector）

设$r=f(t)i+g(t)j+h(t)k$是一条光滑参数曲线，其单位切向量是

$$T(t)=\frac{r'(t)}{|r'(t)|}$$

 

曲线的长度

对于曲线方程，$r(t)=$，在$a \le t \le b$上的弧长是

$$L=\int_{a}^{b} \sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2+h'(t)^2}dt=\int_{a }^{b}|r'(t)|dt$$

 

极坐标曲线的弧长

设f是区间$[\alpha ,\beta ]$上的连续函数，极坐标曲线$r=f(\theta)$在$[\alpha ,\beta ]$上的弧长为

$$L=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{f(\theta)^2+f'(\theta)^2}d\theta$$

 

曲率与法向量（Curvate and Normal Vectors）

弧长作为参数的函数

设$r(t)$描述一条光滑曲线，$t \ge a$弧长由

$$s(t)=\int_{a}^{t}|v(u)|du$$

其中，$|v|=|r’(t)|$,等价地，$\frac{ds}{dt}=|v(t)|>0$。如果$|v(t)|=1$对所有$t \ge a$成立，则参数t是弧长。

 

 

曲率Curvature

设r描绘一条光滑参数曲线，记s为弧长，且$T =r’/|r’|$是单位切向量，曲率为$\kappa (s)=|\frac{dT}{ds}|$

 

曲率公式

设r是一条光滑参数曲线，其中t是任意参数，如果$v=r’$是速度，T是单位切向量，则曲率是

$$\kappa (t)=\frac{1}{|v|}|\frac{dT}{dt}|=\frac{T'(t)}{r'(t)}$$

 

曲率替代公式

设r时光滑曲线上运动的物体的位置，曲线的曲率是

$$\kappa =\frac{a \times v}{|v|^3}$$

其中$v=r’$是速度，$a=v’$是加速度。

 

单位主法向量（Principal Unit Normal Vector）

设r描述光滑参数曲线，在曲线上$\kappa \ne 0$的点P处的单位主法向量是

$$N=\frac{dT/ds}{|dT/ds|}=\frac{1}{\kappa }\frac{dT}{ds}$$

实际中使用等价公式

$$N= \frac{dT/dt}{|dT/dt|}$$

 

单位副法向量（Unit Binormal Vector）和挠率（Torsion）

单位副法向量

$$B=T·N=\frac{v \times a}{|v \times a|}$$

挠率

$$\tau =-\frac{dB}{ds}·N = \frac{(v \times a)·a'}{|v \times a|^2}=\frac{(r' \times r'')·r'''}{|r' \times r''|^2}$$

名词总结

名称	英文
位置函数	Position function
单位切向量	Unit tangent vector
单位主法向量	Principal unit normal vector
曲率	Curvature
单位副法向量	Unit Binormal Vector
挠率	Torsion

 

 

多元函数（functions of serveral variables）

平面和曲面(planes and surfaces)

空间平面的一般方程

过点$P_0(x_0,y_0,z_O)$且法向量为$n$的平面方程

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$

或

$$ax+by+cz=d,其中 d=ax_0+by_0+cz_0$$

 

平行平面（Parallel）与正交平面(Orthogonal Planes)

解题时可根据，平行平面和正交平面来进行求解。

 

迹(trace)

一个空间图形与xy平面的相交为xy-迹，同理还有xz-迹，yz-迹。

 

• 

 

法向量求法

想求一个平面的法向量，可以令平面中相交的两条线叉乘即得。

已知两个平面求其相交的直线

1.先求两个平面的法向量

此时我们只需要找到平面上的一个点和平面的法向量

2.令$x=0$，可得在yz平面上的两条线，及其焦点。

3.将两个法向量叉乘记得获得平面的向。

 

已知三个平面求其焦点

1.由上列方法已知两个平面求相交的直线

2.直接将已求出的交线带入第二个平面方程即可。

 

极限与连续性

内点（Interior）和边界点（Boundary Point）

边界点相较于内点，边界点包含边缘。

开集（Open）和闭集(Closed Sets)

如果区域由所有的内点组成，则它是开的，如果区域包含所有的边界点，则它是闭的。

 

机选不存在的双路径判别法

如果（x,y）沿f的定义域中两条不同的路径趋于（a,b）时，f趋于两个不同的值，则$\lim_{(x，y) \to (a,b)}f(x,y) $不存在。

 

连续性

如果函数f满足

1.f在（a，b）处有定义

2.$\lim_{(x，y) \to (a,b)}f(x,y) $存在

3.$\lim_{(x，y) \to (a,b)}f(x,y) =f(a,b)$

则称f在（a,b）处连续。

 

计算技巧（双路径判别法）

如果在计算时出现$\lim_{(x，y) \to (0,0)}f(x,y) $的情况

1.我们可以直接令$x=y或x=-y$（分两种情况讨论），从而化两个未知数为一个未知数。

2.可以先令$x=0$求y化简的值，也可以先令$y=0$求x化简后的值。

3.可以令$x=ny$，n可取任意常数。

4.可令$x=y^2$

主要用于双路径判别法，判断出两个结果不一致即可。

 

判断$R^2$在方程中的哪一点连续

1.方程中，分母等于零的情况

2.如果时分段函数，一般情况下计算断点的值，大部是断点处不连续。

 

判断是否为连续

可以将函数方程转化为极坐标方程，$x=rcos\theta, y=rsin\theta$转换，如果化简后的结果里面没有r即为极限不存在，如果结果里面有r，则说明此函数的极限存在。

 

 

偏导数（Partial Derivatives）

偏导（Partial Derivatives）

f在（a,b）处对x的偏导

$$f_x(a,b)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$$

eg:$f_{yx}函数f$先对y求偏导，然后对x求偏导

混合偏导相等

如果$f$在点D点连续，则在D点有$f_{xy}=f_{yx}$。

 

 

链法则（The Chain Rule）

链法则

z是关于x和y的在其定义域上的可微函数，其中x和y是t在区间I上的可微函数，则

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

 

 

隐函数求导(Implicit Differentiation)

设F在其定义域上可微，并假设$F（x,y）=0$,定义y是x的可微函数，只要$F_y \ne 0$,有

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$$

证明隐函数求导

有$F(x,y,z(x,y))=0$z是x和y的可微函数,证明$\frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{F_x}{F_z}$和$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z} $

$$F(x,y,z(x,y))=F_x·1+F_y·0+F_z\frac{\partial z}{\partial x} =0$$

因此可得

$$\frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{F_x}{F_z}$$

 

 

方向导数和梯度（Directional Derivatives and the Gradient）

方向导数

设$f$在$（a,b）$处可微，$u=$是xy-平面上的单位向量，则$f$在点$(a,b)$处沿方向$u$的方向导数是

$$D_uf(a,b)=\lim_{x \to 0} \frac{f(a+hcos\theta,b+sin\theta)-f(a,b)}{h}$$

 

方向导数（Directional Derivative）

设$f$在$(a,b)$处可微，$u=$是xy-平面上的单位向量，f在点$(a,b)$处沿方向u的方向导数是

$$D_uf(a,b)=<f_x(a,b),f_y(a,b)>·<u_1,u_2>$$

 

梯度（Gradient）

设$f$在点$(x,y)$处可微分，$f$在$(x,y)$处的梯度是向量值函数

$$\bigtriangledown f(x,y)=<f_x(x,y),f_y(x,y)>=f_x(x,y)i+f_y(x,y)j$$

由梯度的定义可知，f在点（a,b）处沿着单位向量$u$的方向导数可写为$D_uf(a,b)=\bigtriangledown f_(a,b)·u $

 

最速上升和最速下降（Directions of Change）

1.$f$在$(a,b)$处沿梯度$\bigtriangledown f(a,b)$方向有最大增长率，沿这个方向的增长率是$|\bigtriangledown f(a,b)|$

2,其最大的下降速度是$-|\bigtriangledown f(a,b)|$

 

切平面与线性逼近（Tangent Planes and Linear Approximation）

F(x,y,z)=0的切平面方程

设F在点$P_0(a,b,c)$处可微，且$\bigtriangledown F(a,b,c)\ne 0$,曲面$F(a,b,c)=0$在$P_0$处的切平面是过$P_0$且正交于$\bigtriangledown F(a,b,c)$的平面，切平面的方程是

$$F_0(a,b,c)(x-a)+F_y(a,b,c)(y-b)+F_z(a,b,c)(z-c)=0$$

 

z=f(x,y)的切平面

设$f$在点$(a,b)$处可微，曲面$z=f(x,y)$在点$(a,b,f(a,b))$处的切平面方程是

$$z=f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)+f(a,b)$$

线性逼近（Linear Approximation）

平面$z=f(x,y)$的线性逼近是在该点处的切平面，其方程为

$$L(x,y)=f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)+f(a,b)$$

 

 

微分dz

设$f$在点$(a,b)$处可微，当因变量从$(a,b)$变化到$(a+dx,b+dy)$时，$z=f(x,y)$的变化

$$\bigtriangleup z \approx dz =f_x(a,b)dx+f_y(a,b)dy$$

 

 

最大/最小值问题

导数与极大值极小值（Local Maximum / Minimum Values）

如果$f$在$(a,b)$处有极大值或者极小值，并且偏导数$f_x$和$f_y$在$(a,b)$处存在。则$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$

 

临界点（Critical Point）

设$(a,b)$是$f$的定义域的一个内点，如果下列条件之一成立：

1.$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$

2.$f_x$或$f_y$在$(a,b)$处不存在

则$(a,b)$称为$f$的一个临界点，临界点是极大值和极小值的候选点

 

鞍点（Saddle Point）

设$(a,b)$是函数的一个临界点，如果存在一些点$(x,y)$满足$f(x,y) > f(a,b)$和另外一些点$(x,y)$满足$f(x,y)<f(a,b)$,则称f在$(a,b)$处有一个鞍点。

 

二阶导数判别法

设$f$的二阶偏导数是在以点$(a,b)$为圆心的某个开圆盘上连续，其中$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$.令$D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}$

1.如果$D(a,b)>0且f_{xx}(a,b)<0$,则$f$在$(a,b)$处有极大值

2.如果$D(a,b)>0且f_{xx}(a,b)>0$,则$f$在$(a,b)$处有极小值

3.如果$D(a,b)<0$,则$f$在$(a,b)$处有鞍点

4.如果$D(a,b)=0$,则判断法无结果

 

求最大值/最小值（Absolute Maximum/Minimum Values）

设$f$在$R^2$的有界闭集R上连续，欲求$f$在R上的最大值和最小值：

1.确定$f$在R中所有临界点处的值

2.求$f$在R边界上的最大值和最小值

求边界点的值中，其中边界分很多情况

<1>$(x,y):x^2+y^2 \le 4$

令$x=2cos\theta,y=2sin\theta且有0\le\theta\le2\pi$将x，y的值带入其中，即可用$\theta$求出最大值和最小值。

<2>$R=(x,y):-2\le x\le2,-1\le y\le1$

先考虑$x=\pm2$.y为任意值的情况；之后考虑$y=\pm1$，x为任意值的情况。

<3>在函数$y=x,y=2x,y=2$之间包围。

可以分别将每一个式子带入求导。从而求出每个式子的最大值。

3.在第一步和第二步求出函数值，最大者是$f$在R上的最大值，最小者是$f$在R上的最小值。

 

求与平面最近的点

如果有平面方程$x+y+z=4$和点$p(0,3,6)$,求平面相对于点的最近距离。

1.有$z=4-x-y$,带入得平面上的坐标$Q(x,y,4-x-y)$

2.问题转化为P点与Q点之间得距离

得$w=x^2+(y-3)^2+(x+y+2)^2$

3.求出其临界点，及$w_x=w_y=0$的时候。就是最近的点。

 

 

拉格朗日乘子法（Lagrange Multipliers）

平行梯度（Parallel Gradients）

目标函数$f$，约束曲线$g$。

设$f$是$R^2$的一个区域上的可微函数，区域包含由$g(x,y)$给出的光滑曲线C。假设$f$在C上的点P$(a,b)$处有极值，则$\bigtriangledown f(a,b)$与C在P处的切线正交。假设$\bigtriangledown g（a,b）\ne 0$,于是存在一个实数$\lambda$(拉格朗日乘子)使得$\bigtriangledown f(a,b)=\lambda \bigtriangledown g(a,b)$

 

 

二元拉格朗日乘子法

有目标函数$f$和约束方程$g$，为求$f$在约束条件$g(x,y)=0$下的最大值和最小值

1.求x,y和$\lambda$的值（如果存在），满足方程

$$\bigtriangledown f(x,y)=\lambda\bigtriangledown g(x,y)和g(x,y)=0$$

2.在第一步得到的值（x，y）中，选择对应的最大和最小函数值，它们就是$f$在约束条件下的最大值或则最小值。

 

距平面的最短距离

1.先列出与点的距离方程，例如与点$（-2，5，1）$

其方程可为$f(x,y,z)=(x+2)^2+(y-5)^2+(z-1)^2$,且有$g(x,y,z)=2x+3y+6z-10=0$

2.计算其梯度$\bigtriangledown f=<2x+4,2y-10,2z-2>$,$\bigtriangledown g=<2,3,6>$

3.拉格朗日乘子法，计算$\lambda$化简可得最短距离的坐标。

4.将坐标带入即可求出最短距离。

 

 

多重积分（Multiple Integration）

体积与二重积分

极限

$$\lim_{\bigtriangleup \to 0} \sum_{n}^{k=1}f(\bar{x}_k ,\bar{y}_k) \bigtriangleup A_k$$ $$\iint_{R}^{} f(x,y)dA$$

如果f在R上非负，则二重积分等于区域R上$z=f(x,y)$和$xy-$平面所包围的立体的体积。

 

矩形区域上的二重积分(Double Integrals on Rectangular Regions)

假设$f$在矩形区域$R={(x,y):a\le x \le b,c \le y\le d}$上连续，$f$在R上的二重积分还可以用下列公式计算。

$$\iint\limits_{R}^{} f(x,y)dA=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)dxdy$$

平面区域上的平均值

$$\bar{f}=\frac{1}{R的面积}\iint\limits_{R}^{} f(x,y)dA$$

一般区域上的二重积分

非矩形区域上的二重积分（Double Integrals over Nonrectangular Region）

设区域R在上下分别由连续函数$y=g(x)$和$y=h(x)$的图像所围，并且由直线$x=a$和$x=b$所围，若$f$在R上连续，则

$$\iint\limits_{R}^{} f(x,y)dA=\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)dxdy$$

用二重积分求区域的面积

设R是xy-平面内的区域，则

$$R的面积=\iint_{R}dA$$

 

 

极坐标下的二重积分

设$f$在xy-平面内的区域$R={(r,\theta):0\le a\le r \le b,\alpha \le \theta \le \beta}$上连续，其中$\beta - \alpha \le 2\pi$,则

$$\iint\limits_{R}^{} f(r,\theta)dA=\int_{\alpha}^{\theta}\int_{a}^{b}f(r,\theta)rdrd\theta$$

极坐标区域的面积

$$A=\iint\limits_{R}^{} dA=\int_{\alpha}^{\beta}\int_{g(\theta)}^{h(\theta)}rdrd\theta$$

 

 

三重积分

三重积分（Triple Integrals）

设$D={(x,y,z):a \le x \le b,g(x) \le y \le h(x) ,G(x,y) \le z \le H(x,y)}$其中g,h,G,H是连续函数，在D上的连续函数$f$的三重积分可以用如下累次积分计算：

$$\iiint\limits_{D}^{} f(x,y,z)dV=\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{h(x)}\int_{G(x,y)}^{H(x,y)}f(x,y,z)dzdydx$$