电磁场

矢量的基本概念

1.矢量的表示

图形表示
数学表示
$\vec{A}= \vec{a_A}\left | \vec{A} \right | = \vec{a_A}A$
坐标分量表示法

$\vec{A}= \vec{a_x}A_x(x,y,z)+\vec{a_y}A_y(x,y,z)+\vec{a_z}A_z(x,y,z)$

$a_A$是沿A的方向且大小等于1的无量纲的单位矢量

2.矢量的加减

矢量的运算规则（Operation rules）

1.加减运算

$\begin{array}{ll}a.&A+B=B+A\\ \\ b.&A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)\\ \\ c.&A-B=A+(-B)\end{array}$ $d .\quad \begin{array}{r l}{if \quad A=\boldsymbol{a}_{x}A_{x}(x,y,z)+\boldsymbol{a}_{y}A_{y}(x,y,z)+\boldsymbol{a}_{z}A_{z}(x,y,z)}\\ {B=\boldsymbol{a}_{x}B_{x}(x,y;z)+\boldsymbol{a}_{y}B_{y}(x,y,z)+\boldsymbol{a}_{z}B_{z}(x,y,z)}\\ \end{array}$

then

$\begin{array}{l}A\pm B=\boldsymbol a_x(A_x\pm B_x)+\boldsymbol a_y(A_y\pm B_y)+\boldsymbol a_z(A_z\pm B_z)\\ cA=\boldsymbol a_x(cA_y)+\boldsymbol a_y(cA_y)+\boldsymbol a_z(cA_z)\end{array}$

2.点乘运算

$A \bullet B = AB \cos \theta (\theta \leq \pi)$ $\theta=\cos^{-1}\frac{A\bullet B}{AB}=\cos^{-1}\frac{A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}}{AB}$

3.叉乘运算（vector or cross product）

$C=|A\times B|=AB\sin\theta$

注意：叉乘有顺序，不可以使用交换律

方向：右手定则

$A\times B=a_{x}(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})+a_{y}(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})+a_{z}(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}) =\begin{vmatrix}\boldsymbol{a}_x&\boldsymbol{a}_y&\boldsymbol{a}_z\\ A_x&A_y&A_z\\ B_x&B_y&B_z\end{vmatrix}$ $\theta=\sin^{-1}\frac{\left|A\times B\right|}{A B}$

4.三个矢量相乘

模的几何意义是六面体的体积 $\mathbf{A}\bullet(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\mathbf{B}\bullet(\mathbf{C}\times\mathbf{A})=\mathbf{C}\bullet(\mathbf{A}\times\mathbf{B})$

遵从Back-cab rule

$\begin{array}{l}\textbf{A}\times(\textbf{B}\times\textbf{C})=\textbf{B}(\textbf{A}\textbf{}\textbf{}\textbf{}\textbf{}\textbf{C})-\textbf{C}(\textbf{A}\textbf{}\textbf{}\textbf{}\textbf{}\textbf{B})\\ \textbf{D}=\textbf{B}\times\textbf{C}\qquad\textbf{F}=\textbf{A}\times(\textbf{B}\times\textbf{C})\end{array}$ $\begin{aligned}F_x&=A_y D_z-A_z D_y\\ &=A_y(B_x C_y-B_y C_z)-A_z(B_z C_x-B_x C_z)\\ &=B_x(A_y C_y+A_zC_z)-C_x(A_y B_y+A_z B_z)\\ &=B_x(\textbf{A}\textbf{C})-C_x(\textbf{A}\textbf{B})\end{aligned}$

正交坐标系及其微分元（Orhogonal coordinate systems）

常用的正交曲线坐标系

直角坐标系
圆柱坐标系
球坐标系

坐标线（轴）：三个正交曲面两两相交而成的曲线

坐标原点（基准点）:三条坐标系的焦点

坐标单位矢量：空间任意一点与坐标线相切且指向变量增加方向的三个单位矢量

正交坐标系的微分元

$\text{d}l=\left[(\text{d}l_1)^2+(\text{d}l_2)^2+(\text{d}l_3)^2\right]^{1/2}\\ =\left[(h_1\text{d}u_1)^2+(h_2\text{d}u_2)^2+(h_3\text{d}u_3)^2\right]^{1/2}$

Differential directed distance

$d\mathbf{1}=\mathbf{a}_{u1}dl_1+\mathbf{a}_{u2}dl_2+\mathbf{a}_{u3}dl_3$

Differential area $\begin{aligned}ds_1&=dl_2dl_3&=h_2h_3ah_2dt_3\\ ds_2&=dl_1dl_3&=h_1h_3dh_1du_3\\ ds_3&=dl_1dl_2&=h_1h_2du_1du_2\end{aligned}$

Differential volume

$dv=h_1h_2h_3du_1du_2du_3$

1.直角坐标系（Cartesian coordinates）

$\text{(u}_1,\text{u}_2,\text{u}_3\text{)=(x,y,z)}$

线元 $\begin{matrix}d\vec{l}_x=dx\vec{a}_x\\ {d}\vec{l}_y={dy}\vec{a}_y\\ {d}\vec{l}_z={dz}\vec{a}_z \\d\vec{l}=dx\vec{a}_x+dy\vec{a}_y+d{z}\vec{a}_z \end{matrix}$

面元 $\begin{matrix}d\vec{S}_x=dy dz\vec{a_x}\\ d\vec{S}_y=dx dz \vec{a_y}\\ d\vec{S}_z=dx dy\vec{a}_z\end{matrix}$

体元 $dV=dx dy dz$

题型

已知一个线的矢量表达式A，求

若B与A平行，那么求B的单位矢量表达式
若B垂直于A，且B处于x平面，求B的单位矢量表达式

1.A×B=0 带入求解

2.A·B=0 带入求解

2.圆柱坐标系（Cylindrical coordinates）

$\left(\mathrm{u}_1,\mathrm{u}_2,\mathrm{u}_3\right)=\left(\mathrm{r},\mathrm{\varphi ,z}\right)$

线元
$\text{d}\vec{l}=\text{d}r\vec{a}_r+r\text{d}\varphi\vec{a}_\varphi+\text{d}z\vec{a}_z$

面元 $\begin{aligned}\text{d}\vec{S}_r=r\text{d}\varphi\text{d}z\vec{a}_r\\ \text{d}\vec{S}_\varphi=\text{d}r\text{d}z\vec{a}_\varphi\\ \text{d}\vec{S}_z=r\text{d}\varphi\text{d}r\vec{a}_z\end{aligned}$

体元

$\text{d}V=r\text{d}r\text{d}\varphi\text{d}z$