电磁场

矢量的基本概念

1.矢量的表示

图形表示
数学表示
$$
\vec{A}= \vec{a_A}\left | \vec{A} \right | = \vec{a_A}A
$$
坐标分量表示法

$$
\vec{A}= \vec{a_x}A_x(x,y,z)+\vec{a_y}A_y(x,y,z)+\vec{a_z}A_z(x,y,z)
$$

$a_A$是沿A的方向且大小等于1的无量纲的单位矢量

2.矢量的加减

矢量的运算规则（Operation rules）

1.加减运算
$$
\begin{array}{ll}a.&A+B=B+A\ \ b.&A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)\ \ c.&A-B=A+(-B)\end{array}
$$

$$
d .\quad \begin{array}{r l}{if \quad A=\boldsymbol{a}{x}A{x}(x,y,z)+\boldsymbol{a}{y}A{y}(x,y,z)+\boldsymbol{a}{z}A{z}(x,y,z)}\ {B=\boldsymbol{a}{x}B{x}(x,y;z)+\boldsymbol{a}{y}B{y}(x,y,z)+\boldsymbol{a}{z}B{z}(x,y,z)}\ \end{array}
$$

then
$$
\begin{array}{l}A\pm B=\boldsymbol a_x(A_x\pm B_x)+\boldsymbol a_y(A_y\pm B_y)+\boldsymbol a_z(A_z\pm B_z)\ cA=\boldsymbol a_x(cA_y)+\boldsymbol a_y(cA_y)+\boldsymbol a_z(cA_z)\end{array}
$$
2.点乘运算
$$
A \bullet B = AB \cos \theta (\theta \leq \pi)
$$

$$
\theta=\cos^{-1}\frac{A\bullet B}{AB}=\cos^{-1}\frac{A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}}{AB}
$$

3.叉乘运算（vector or cross product）
$$
C=|A\times B|=AB\sin\theta
$$

注意：叉乘有顺序，不可以使用交换律

方向：右手定则

$$ A\times B=a_{x}(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})+a_{y}(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})+a_{z}(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}) =\begin{vmatrix}\boldsymbol{a}_x&\boldsymbol{a}_y&\boldsymbol{a}_z\\ A_x&A_y&A_z\\ B_x&B_y&B_z\end{vmatrix} $$

$$
\theta=\sin^{-1}\frac{\left|A\times B\right|}{A B}
$$

4.三个矢量相乘

模的几何意义是六面体的体积
$$
\mathbf{A}\bullet(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\mathbf{B}\bullet(\mathbf{C}\times\mathbf{A})=\mathbf{C}\bullet(\mathbf{A}\times\mathbf{B})
$$
遵从Back-cab rule

$$
\begin{array}{l}\textbf{A}\times(\textbf{B}\times\textbf{C})=\textbf{B}(\textbf{A}\textbf{}\textbf{}\textbf{}\textbf{}\textbf{C})-\textbf{C}(\textbf{A}\textbf{}\textbf{}\textbf{}\textbf{}\textbf{B})\ \textbf{D}=\textbf{B}\times\textbf{C}\qquad\textbf{F}=\textbf{A}\times(\textbf{B}\times\textbf{C})\end{array}
$$

$$
\begin{aligned}F_x&=A_y D_z-A_z D_y\ &=A_y(B_x C_y-B_y C_z)-A_z(B_z C_x-B_x C_z)\ &=B_x(A_y C_y+A_zC_z)-C_x(A_y B_y+A_z B_z)\ &=B_x(\textbf{A}\textbf{C})-C_x(\textbf{A}\textbf{B})\end{aligned}
$$

正交坐标系及其微分元（Orhogonal coordinate systems）

常用的正交曲线坐标系

直角坐标系
圆柱坐标系
球坐标系

坐标线（轴）：三个正交曲面两两相交而成的曲线

坐标原点（基准点）:三条坐标系的焦点

坐标单位矢量：空间任意一点与坐标线相切且指向变量增加方向的三个单位矢量

正交坐标系的微分元

$$
\text{d}l=\left[(\text{d}l_1)^{2+(\text{d}l_2)}2+(\text{d}l_3)^2\right]{1/2}\ =\left[(h_1\text{d}u_1)^{2+(h_2\text{d}u_2)}2+(h_3\text{d}u_3)^2\right]{1/2}
$$

Differential directed distance

$$
d\mathbf{1}=\mathbf{a}{u1}dl_1+\mathbf{a}{u2}dl_2+\mathbf{a}_{u3}dl_3
$$
Differential area
$$
\begin{aligned}ds_1&=dl_2dl_3&=h_2h_3ah_2dt_3\ ds_2&=dl_1dl_3&=h_1h_3dh_1du_3\ ds_3&=dl_1dl_2&=h_1h_2du_1du_2\end{aligned}
$$
Differential volume

$$
dv=h_1h_2h_3du_1du_2du_3
$$

1.直角坐标系（Cartesian coordinates）

$$
\text{(u}_1,\text{u}_2,\text{u}_3\text{)=(x,y,z)}
$$

线元
$$
\begin{matrix}d\vec{l}_x=dx\vec{a}_x\ {d}\vec{l}_y={dy}\vec{a}_y\ {d}\vec{l}_z={dz}\vec{a}_z
\d\vec{l}=dx\vec{a}_x+dy\vec{a}_y+d{z}\vec{a}_z
\end{matrix}
$$
面元
$$
\begin{matrix}d\vec{S}_x=dy dz\vec{a_x}\ d\vec{S}_y=dx dz \vec{a_y}\ d\vec{S}_z=dx dy\vec{a}_z\end{matrix}
$$
体元
$$
dV=dx dy dz
$$

题型

已知一个线的矢量表达式A，求

若B与A平行，那么求B的单位矢量表达式
若B垂直于A，且B处于x平面，求B的单位矢量表达式

1.A×B=0 带入求解

2.A·B=0 带入求解

2.圆柱坐标系（Cylindrical coordinates）

$$
\left(\mathrm{u}_1,\mathrm{u}_2,\mathrm{u}_3\right)=\left(\mathrm{r},\mathrm{\varphi ,z}\right)
$$

线元
$$

\text{d}\vec{l}=\text{d}r\vec{a}r+r\text{d}\varphi\vec{a}\varphi+\text{d}z\vec{a}_z

$$
面元
$$
\begin{aligned}\text{d}\vec{S}r=r\text{d}\varphi\text{d}z\vec{a}r\ \text{d}\vec{S}\varphi=\text{d}r\text{d}z\vec{a}\varphi\ \text{d}\vec{S}_z=r\text{d}\varphi\text{d}r\vec{a}_z\end{aligned}
$$
体元

$$
\text{d}V=r\text{d}r\text{d}\varphi\text{d}z
$$