一阶非线性微分方程

可分方程(Separable Equation)

可分方程一般都有如下形式

$x'(t)=h(t)g(x)$

且有h(t)是连续的，g(x)是连续可微的

解可分方程思路

解可分方程思路一般为两大块———-求常数解和求非常数解

且要注意的是，常数解和非常数解代表的曲线不相交

一般会先求出常数解，从而求出非常数解的区间，如果有初值，或者给出图上一个点，就可以确定此非常数解的曲线在哪个区间

求常数解

我们已知x是关于t的函数，当k是微分方程的一个常熟解时，有$x(t)=k$

$x’(t)=0$,此时当且仅当$g(k)=0$时，微分方程成立

那么当$g(x) \ne 0$时，此时方程有非常数解。

求非常数解

$\frac{x^{\prime}(t)}{g(x(t))}=h(t)$ $\int \frac{x^{\prime}(t)}{g(x(t))} dt=\int h(t) dt$ $\int \frac{d x}{g(x)}=\int h(t)+c$

当解中带有绝对值时，我们可以通过求常数解来确定x的范围，从而去绝对值，求出在此区间上的解。

恰当方程（Exact Equation）

假设有一个微分方程$F(x,y)$,有方程对x的偏导$F_x(x,y)$和关于y的偏导$F_y(x,y)$

关于x的偏导写作$M(x,y)$,y的偏导为$N(x,y)$。

$F_x(x,y)=M(x,y),F_y(x,y)=N(x,y)$

此时

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

方程有$M_y=N_x$恒成立。

解法一（M，N分别求原函数）

我们知道，$M(x,y)$关于x的原函数和$N(x,y)$关于y的原函数都是$F(x,y)$

根据做题经验，我们可以分别求出M，N的原函数。

M的原函数加常数解项$c_1$($c_1$中可以包含y)

N的原函数加常数解项$c_2$($c_2$中可以包含x)

令两式相等，我们可以得出$c_1,c_2$的值，从而求出恰当方程$F(x,y)$。

解法二（M或N求原函数）

$F(x,y)=\int M(x,y)dx+h(y)$ $F_{x}(x,y)=M(x,y)$ $F_{y}(x, y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\int M(x, y) d x\right)+h^{\prime}(y)$ $h^{\prime}(y)=N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\int M(x,y) dx\right)$

如此，我们可以求出h(y)的值，从而求出$F(x,y)$

解法三（作图）

$F(x,y)=\int_{x_{0}}^{x} M(s,y) ds+\int_{y_{0}}^{y} N\left(x_{0},s\right)ds$

其中有两种解法，一种是先对x积分，后对y积分。

积分路径为$(x_0,y_0)->(x,y_0)->(x,y)$

另一种是先对y积分，后对x积分。

积分路径为$(x_0,y_0)->(x_0,y)->(x,y)$

其中积分路径的起点我们可以根据方程的特点，选取最容易计算的对应点

例如存在$lnx$时我们不妨设x为1，但一般情况下我们都设积分路径的起点为(0,0)

积分因子

简单说，有形式为$M(x, y) d x+N(x, y) d y=0$的方程。但是此方程不是恰当方程（$M_y \ne N_x$）

此时我们令方程的每一项都同时乘一个式子$\mu$，$\mu(x, y) M(x, y) d x+\mu(x, y) N(x, y) d y=0$从而使整个方程为恰当的，我们称作这个式子$\mu$为积分因子。

例如有方程$ydx-xdy=0$可知此方程不恰当,如果我们在方程的每一项同时乘以$\frac{1}{y^2}$,此时方程为$\frac{1}{y}dx-\frac{x}{y^2}dy=0$,此时方程为恰当方程。从而可以根据求解恰当方程的解法去求解。

寻找积分因子

我们发现如果直接让我们找一个完整的积分因子$\mu(x,y)$是困难的，不妨先去寻找可以使方程恰当的$\mu(x)$或者$\mu(y)$

$\mu(x) M(x, y) d x+\mu(x) N(x, y) d y=0$ $\mu(y) M(x, y) d x+\mu(y) N(x, y) d y=0$

因为方程是恰当的，满足$M_y=N_x$即$\frac{\partial}{\partial y}(\mu(x) M(x, y))=\frac{\partial}{\partial x}(\mu(x) N(x, y))$

可得$ M_{y}(x, y)=\mu^{\prime}(x) N(x, y)+\mu(x) N_{x}(x, y) $化简可得$\frac{\mu^{\prime}(x)}{\mu(x)}=\frac{M_{y}(x, y)-N_{x}(x, y)}{N(x, y)} $

我们令$\frac{\mu’(x)}{\mu(x)}=\Psi$即$\Psi=\frac{M_{y}(x, y)-N_{x}(x, y)}{N(x, y)}$那么求解我们得到的ODE：$\mu(x)=c e^{\int \Psi(x) d x}$

同理，如果设积分因子为$\mu(y)$得到的结果为$\Psi=\frac{N_{x}(x, y)-M_{y}(x, y)}{N(x, y)}$,$\mu(y)=c e^{\int \Psi(y) d y}$

当然，如果想求出$\mu(x,y)$，满足$M_y=N_x$可得$ \mu^{\prime}(x,y) M(x, y)+\mu(x,y) M_{y}(x, y)=\mu^{\prime}(x) N(x, y)+\mu(x) N_{x}(x, y) $化简可得$\Psi=\frac{N_{x}(x, y)-M_{y}(x, y)}{M(x, y)-N(x, y)}$,但明显，求单变量的积分因$\mu(x),\mu_(y)$子比求双变量的积分因子$\mu(x,y)$简单得多。

因此在找积分因子时，我们通常根据方程去寻找单变量积分因子$\mu(x),\mu_(y)$